МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ
ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ
І Н С Т Р У К Ц І Я
до лабораторної роботи № 5
з курсу " Чисельні методи в інформатиці "
для студентів базового напрямку 6.0804
"Комп'ютерні науки"
Затверджено
на засіданні кафедри
"Системи автоматизованого
проектування"
Протокол N 14 від 03.04.1997 р.
Львів 1999
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ. Інструкція до лабораторної роботи № 5 з дисципліни " Чисельні методи в інформатиці " для студентів базового напрямку 6.0804 "Комп'ютерні науки" / Укл. Мотика І.І., Каркульовський В.І. – Львів: Видавництво ДУ "Львівська політехніка", 1999. – 12 с.
Укладачі Мотика І.І., канд. техн. наук, доц.
Каркульовський В.І., канд. техн. наук, доц.
Відповідальний за випуск С.П.Ткаченко, канд. техн. наук, доц.
Рецензенти Федасюк Д.В., канд. техн. наук, доц.
Близнюк М.Б., канд. техн. наук, доц.
1. МЕТА РОБОТИ
Мета роботи - ознайомлення з чисельними методами розв'язку трансцендентних рівнянь та їх практичним застосуванням.
2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
2.1. Методи розв'язування нелінійних рівнянь
Розв'язування нелінійних рівнянь і систем є не тільки важливою самостійною задачею, але і частиною інших задач обчислювальної математики, наприклад, розв'язування нелінійних диференціальних рівнянь або знаходження власних значень матриць. З ними пов'язана побудова різноманітних моделей пристроїв і систем автоматики та інформаційно-вимірювальної техніки.
Трансцендентними називаються нелінійні рівняння, що містять тригонометричні або інші нелінійні функції, наприклад, логарифмічну або експоненціальну.
Існує ряд методів чисельного розв'язування трансцендентних рівнянь, доцільність використання кожного з яких визначається виглядом рівняння, його порядком, необхідною точністю.
2.2. Методи бісекції розв'язку трансцендентних рівнянь.
2.2.1. Метод половинного ділення.
В цьому методі спочатку обчислюються значення функції в точках, розміщених через рівні інтервали на осі x. Коли EMBED Equation.2 і EMBED Equation.2 мають протилежні знаки, то знаходять
EMBED Equation.2 та EMBED Equation.2
Якщо знак EMBED Equation.2 співпадає із знаком EMBED Equation.2 , то в дальшому замість EMBED Equation.2 використовується EMBED Equation.2 . Якщо ж EMBED Equation.2 має знак, протилежний знаку EMBED Equation.2 , тобто співпадає зі знаком EMBED Equation.2 , то на EMBED Equation.2 заміняється це значення.
Якщо EMBED Equation.2 достатньо близьке до 0, то процес обчислення закінчується.
Як умову припинення ітераційного процесу часто найбільш доцільно використовувати умову:
EMBED Equation.2 (1)
де EMBED Equation.2 - задана похибка знаходження кореня.
Cтруктура алгоритму представлена на рис.1.
Початок
xn+1 = xсер f(xn+1) = f(xсер)
Ні
Так
xn = xсер f(xn) = f(xсер)
Ні
Кінець
xn+1 - xn
Так
Обчислення xсер і f(xсер)
Обчислення
функції до зміни знака
при переході від f(xn) до f(xn+1)
f(xсер)f(xn) > 0
Ðèñ. 1. Ìåòîä ïîëîâèííîãî ä³ëåííÿ
Рис. 1. Метод половинного ділення
Даний метод має малу швидкість збіжності. У порівнянні з початково знайденим інтервалом, в якому знаходиться корінь, його ширина після N ітерацій зменшується в 2N раз:
EMBED Equation.2 (2)
Похибка знайденого рішення знаходиться в межах
EMBED Equation.2 (3)
Ефективність даного методу:
EMBED Equation.2 (4)
де n - кількість обчислень функції.
2.2.2. Метод золотого перерізу
Алгоритм даного методу подібний до методу половинного ділен-ня, тільки поділ відрізка здійснюється виходячи із співвідношення золотого січення:
EMBED Equation.2 (5)
Ефективність даного методу є більшою, ніж методу половинного ділення і оцінюється співвідношенням:
EMBED Equation.2 (6)
2.3. Метод хорд
В основі цього методу лежи...
